Lattice

格论在代数数论里有重要的应用. 我们先给出定义

$$ \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\vol}{vol} \DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert} \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} \newcommand{\ol}{\overline} $$

Definition

设 $V$ 是一个 $n$ 维的 $\RR$-线性空间. A lattice in $V$ is an additive subgroup of the form $$ \Lambda = \ZZ v_1 + \cdots + \ZZ v_m $$ such that $v_1, \cdots, v_m$ are linearly independent in $V$. $\Lambda$ is said to be a complete lattice if $m = n$. 给定一个 lattice $\Lambda$, 我们还能定义集合 $$ \Phi := \{x_1v_1 + \cdots + x_nv_n: 0\le x_i < 1\}. $$ 称为 $\Lambda$ 的一个 fundamental mesh.

注意 $\RR$-线性无关一定 $\ZZ$-线性无关, 所以 lattice $\Lambda$ is a free abelian group of rank $m$.

对于 complete lattice, fundamental mesh 的一个基本性质是所有的 $\{\gamma + \Phi: \gamma \in \Lambda\}$ 构成了全空间 $V$ 的无交并.

之所以叫 a fundamental mesh 而不是 the fundamental mesh, 是因为 fundamental mesh 的定义依赖于 $\Lambda$ 的基的选取. 但是另一方面, fundamental mesh 的体积确是良定义的, 不依赖于基的选取. 这是因为一组 $\ZZ$-basis 到另一组 basis 的变换矩阵行列式一定是 $\pm 1$. 于是我们可以定义 the volume of $\Lambda$, 记为 $\vol(\Lambda)$.

格子群, 完备格子群的刻画性质

注意 $V \cong \RR^n$ 是一个拓扑空间, 于是我们可以讨论 lattice 的拓扑性质. 显然 lattice 一定是离散的, 事实上, 离散这个性质刻画了 lattice.

Proposition (lattice characterization)

Let $\Lambda$ be a subgroup of $V$. Then $\Lambda$ is a lattice if and only if $\Lambda$ is discrete. 换句话说, 欧氏空间中的离散加法子群就是格子群.

Proof. Lattice 显然是离散的, 现在我们证明反过来的方向. Now assume $\Lambda$ is a discrete subgroup of $V$.

我们先说明 $\Lambda$ 是 $V$ 中的闭集. 对任意 $0$ 的开邻域 $U$, 由 $V$ 中加法的连续性, 存在更小的开邻域 $U' \subseteq U$ 使得 $x - y \in U$ for all $x, y \in U'$. 假如 $\Lambda$ 不是闭集, 那么存在 $x \notin \Lambda$, 使得对任意 $0$ 的开邻域 $U$, 都有 $(x + U') \cap \Lambda$ 非空. 因为 $V \cong \RR^n$ 实际上是度量拓扑空间, 所以我们实际上有 $(x + U') \cap \Lambda$ 是无限集. Choose two distinct elements, say $\gamma_1$ and $\gamma_2$, then $0 \ne \gamma_2 - \gamma_1 =: \gamma$ belongs to $U' - U' \subseteq U$. In summary, 对任意 $0$ 的开邻域 $U$, 都存在非零的 $\gamma \in U\cap \Lambda$, 这与 $\Lambda$ 的离散性矛盾.

Let $V_0$ be the subspace of $V$ spanned by $\Lambda$. Let $m = \dim V_0$, then there exists $u_1,\cdots,u_m \in \Lambda$ which form a basis of $V_0$. Let $\Lambda_0 = \ZZ u_1 + \cdots + \ZZ u_m$, which is a subgroup of $\Lambda$.

We claim that $\abs{\Lambda/\Lambda_0} < \infty$. 设 $\Phi_0$ 是 $\Lambda_0$ 在 $V_0$ 中的 fundamental mesh. 因为 $\\{\beta + \Phi_0: \beta \in \Lambda_0\\}$ 构成了 $V_0$ 的无交并, 所以对任意 $\gamma \in \Lambda$, 它形如 $\gamma = \beta + \alpha$, 其中 $\beta \in \Lambda_0, \alpha \in \Phi_0$ (hence $\alpha \in \Phi_0 \cap \Lambda$). 所有这样的 $\alpha$ 都落在 $\overline{\Phi_0}\cap \Lambda$, 这是一个有界集, 而且是闭集 (我们前面证明了 $\Lambda$ 闭), 而且是离散的, 所以 $\overline{\Phi_0}\cap \Lambda$ 是有限集. 这就说明了 $|\Lambda/\Lambda_0| < \infty$.

由有限 Abel 群的结构定理, $\Lambda$ admits a $\ZZ$-basis $v_1,\cdots,v_m$. 这些 $v_i$ 是 $\RR$-线性无关的, 因为它们生成了 $V_0$. $\square$

Proposition

Let $\Lambda$ be a lattice of $V$. Then $\Lambda$ is complete if and only if there exists a bounded subset $M \subseteq V$ such that $\{\gamma + M: \gamma \in \Lambda\}$ covers $V$.

Proof. If $\Lambda$ is complete, then take $M$ to be a fundamental mesh.

Conversely, let $V_0$ be the subspace spanned by $\Lambda$, we need to show $V_0 = V$. 首先第一件事, 线性空间的子空间一定是闭的, 所以 $V_0$ 是闭集. 其次, 对任意 $v \in V$ 以及正整数 $n$, 我们有 $nv = w_n + v_n$ for some $w_n \in M$ and $v_n \in \Lambda \subseteq V_0$. 也就是说 $$ v = \frac{w_n}{n} + \frac{v_n}{n} $$ 因为 $M$ 有界, 所以 $\lim_{n\to\infty} \frac{w_n}{n} = 0$. 因为 $V_0$ 是闭集, 所以 $\lim_{n\to\infty} \frac{v_n}{n} \in V_0$. $\square$

为什么离散赋值的值域一定是 $\ZZ$

设 $K$ 是一个域, 设 $\nu$ 是 $K^\times \to \RR$ 一个 valuation. 如果进一步的 $\nu$ 实际上是 $K^\times \to \ZZ$, 则我们称 $\nu$ 是一个离散赋值. 你可能会觉得奇怪, 为什么离散赋值的定义就是射去 $\ZZ$, 按照字面的意思去理解应该是指 $\nu$ 的 image 是离散子群才对呀. Proposition (c8aabe9) 回答了这个疑虑, 它告诉我们 $\RR$ 的离散子群一定是格, 从而形如 $\ZZ\alpha$ for some $\alpha \in \RR$ (只由这一个元素生成). 这样的子群显然 order-isomorphic to $\ZZ$, 所以在复合一个 order-isomorphism 的意义下, 我们总是能假定离散赋值的取值就是 $\ZZ$.

Proposition (c8aabe9) 告诉我们像 $\ZZ + \ZZ\sqrt{2}$ 这样的东西一定不是 $\RR$ 的离散子群. 事实上这个子群在 $\RR$ 中稠密 c.f. Proposition (4acc8b5) below.

设 $G$ 是 $\RR$ 的一个加法子群, 在子拓扑意义下, $G$ 是一个拓扑加法群, 所以 $G$ 中任意两点都是局部同胚的. 于是如果 $0 \in G$ 是孤立点, 那么任意 $g \in G$ 都是孤立的. $G$ 是离散子群相当于说存在最小元, 这个最小元就是我们前面那个 $\alpha$. 反之, 如果 $G$ 中不存在这样的最小元, 我们说明这个时候 $G$ is dense in $\RR$.

Proposition

Let $G$ be an additive subgroup of $\RR$ which doesn’t have a least positive element (equivalently $G$ is not discrete), then $G$ is dense in $\RR$.

Proof. Fix $y \in \RR$ and $\varepsilon > 0$. Choose $x \in G$ such that $0 < x < \varepsilon$. There exists $n \in \NN$ such that $$ nx \le y < (n+1)x, $$ hence $|y - nx| < x < \varepsilon$. Now $nx \in G$ and $\varepsilon$ is arbitrary, we conclude that $y \in \ol{G}$. $\square$

Minkowski’s Lattice Point Theorem

关于 lattice 还有一个重要的定理 – Minkowski’s Lattice Point Theorem. 如果你学过代数数论, 你就知道这个定理非常重要, 这个定理是我们研究正合列

$$ 1 \to \OO_K^\times \to K^\times \to J_K \to C_K \to 1 $$

中的 $\OO_K^\times$ 和 $C_K$ 不可或缺的工具.

Definition

我们称欧氏空间中的一个子集 $X$

凸, 如果对任意 $x, y \in X, 0\le t \le 1$, 都有 $t\cdot x + (1-t)\cdot y \in X$.
中心对称, 如果对任意 $x \in X$, 都有 $-x \in X$.

Theorem (Minkowski's Lattice Point Theorem)

设 $\Lambda$ 是一个 complete lattice. 设 $X$ 是一个中心对称的凸集. 如果 $X$ 的体积充分大 $$ \vol(X) > 2^n\cdot \vol(\Lambda), $$ 那么 $X$ 包含 $\Lambda$ 中的一个非零格点.

Proof. 我们说明只需证明存在 $\gamma_1\ne \gamma_2 \in \Lambda$ 使得 $$ \begin{equation} \label{eq-523ac4f} \left(\gamma_1 + \frac{1}{2}X\right) \cap \left(\gamma_2 + \frac{1}{2}X\right) \ne \varnothing \end{equation} $$ 即可. 事实上, 如果 \eqref{eq-523ac4f} 成立, 那么存在 $x_1, x_2 \in X$ 使得 $\gamma_1 + \frac{1}{2}x_1 = \gamma_2 + \frac{1}{2}x_2$ $\implies$ $\gamma := \gamma_1 - \gamma_2 = \frac{1}{2}x_2 + (-\frac{1}{2})x_1$ is a non-zero element belongs to both $\Lambda$ and $X$ (利用了中心对称和凸).

Let $\Phi$ be a fundamental mesh of $\Lambda$. 假如 $\gamma + \frac{1}{2}X$ 关于 $\gamma \in \Lambda$ 两两不交, 我们有 $$ \vol(\Lambda) = \vol(\Phi) \ge \sum_{\gamma \in \Lambda} \vol(\Phi \cap (\gamma + \tfrac{1}{2}X)) = \sum_{\gamma \in \Lambda} \vol((\gamma + \Phi)\cap \tfrac{1}{2}X) $$ 这里我们利用了欧氏空间中 volume 的平移不变性. 因为 $\{\gamma + \Phi\}$ 覆盖了 $V$ (从而也覆盖了 $\frac{1}{2}X$), 所以我们有 $$ \sum_{\gamma \in \Lambda} \vol((\gamma + \Phi)\cap \tfrac{1}{2}X) = \vol(\tfrac{1}{2}(X)) = 2^{-n}\vol(X). $$ 这与 $\vol(X) > 2^n\vol(\Lambda)$ 矛盾. $\square$