交换代数习题

Please refer to [1, Section 2] .

$$ \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\ann}{ann} \DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert} \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} \newcommand{\ol}{\overline} $$

Exercise 1

这里用到了 Nakayama’s Lemma 的一个变形:

Lemma (Nakayama)

Let $M$ be a finite $A$-module and $I$ an ideal of $A$. If $IM = M$, then there exists $i \in M$ such that $im = m$ for all $m \in M$. 换句话说, 如果理想 $I$ 固定 $M$, 那么存在理想 $I$ 中的某个元素固定 $M$ 中的所有元素.

Proof. 由 Nakayama's Lemma 知存在 $a \in A$ 满足 $aM = 0$ 且 $a \equiv 1 \mod I$. Take $i = 1 - a \in I$. $\square$

于是存在 $e \in I$ 满足 $ei = i$ for all $i \in I$. In particular $e^2 = e$ 即 $e$ 是幂等元. 我们有

$$ I = eI \subseteq eA \subseteq I \implies eA = (e) = I. $$

Exercise 2

显然 $I$ 和 $\ann(M)$ 都零化 $M/IM$, 所以 $\ann(M/IM) \supseteq I + \ann(M)$, 两边取 radical 便得到了 $\supseteq$ 关系.

另一方面, 设 $a \in \text{LHS}$, then $a^m =: y \in \ann(M/IM)$, 即 $yM \subseteq IM$. 由 Cayley-Hamilton Theorem, 存在 $i \in I$ 使得 $y^n + i \in \ann(M)$, 即 $a^{mn} \in \ann(M) + I$, 所以 $a \in \text{RHS}$, 这就证明了 $\subseteq$ 关系.

Exercise 3

我们有短正合列 $0 \to M \cap N \to M \to M/(M \cap N) \to 0$. 要说明 $M$ 有限生成, 只需证明 $M/(M \cap N)$ 有限生成. 由第二同构定理 $M/(M \cap N) \cong (M + N)/N$. 因为 $M + N$ 有限生成, 所以 $(M + N)/N$ 作为商模更加是有限生成的. 同理 $N$ 也是有限生成的.

一般情况下, 给定两个模 $N \subseteq M$, 即使大模 $M$ 有限生成, 比较小的子模 $N$ 也未必有限生成. 要使得 $N$ 有限生成, 一个充分条件是商模 $M/N$ is finitely presented. 这道习题给了另一个有限生成的充分条件.

Exercise 4

(a) 任取 $A$ 的一个极大理想 $\km$ 并设 $k = A/\km$. 如果 $M \cong A^n$, 那么 $M/\km M \cong k^n$. For a field $k$ the result is well-known.

(b) 设 $C$ 是一个矩阵, the rank of $C \ge r$ if and only if there exists a minor of order $r$ which is non-zero.

(c) 注意到 $e_i = (0,\cdots,1,\cdots,0)$ (第 $i$ 个分量是 $1$ 其余是 $0$) 是 $A^n$ 的 minimal basis 也是一组 basis. 任意的 minimal basis 都是 $e_i$ 通过一个可逆线性变换得到 c.f. [1, Theorem 2.3] .

Exercise 5

stack project (0519) 系统地整理了 finite module 和 finitely presented module 的判定准则:

最基本的是 (3): 如果 $M_2$ 有限生成, 那么商模 $M_3$ 也是有限生成.
其次是 (1): 如果子模 $M_1$ 和商模 $M_3$ 都有限生成, 那么中间的 $M_2$ 也是有限生成.
从 (5) 开始, 就没那么平凡了: 大模 $M_2$ 有限生成, 商模 $M_3$ finitely presented, 那么子模 $M_1$ 也有限生成.
(4): 如果 $M_2$ is finitely presented, 那么商模 $M_3$ 只能确定是有限生成, 但如果 $M_1$ 也是有限生成的, 就能把 finitely presented 过渡到商模 $M_3$ 上去.
(2): 类似于 (1), 子模 $M_1$ 和商模 $M_3$ 的 finitely presented, 能 assemble 成 $M_2$ 的 finitely presented. 只不过证明并不像 (1) 那么 trivial.

References

1: H. Matsumura. Commutative Ring Theory.