Gauss Lemma on Integrally Closed Domain

The following proposition is a exercise from [1] . 具体来说, 第一章第二节的习题 2. 同时, 这个结论在交换代数的课上也有提到过.

Proposition

If $A$ is an integrally closed domain, then the polynomial ring $A[t]$ is also integrally closed.

Gauss Lemma

我们熟知的 Gauss Lemma 是应用在 UFD 上的, 事实上, 在整闭环上我们也有一个对应的 Gauss Lemma.

Lemma (整闭环上的 Gauss Lemma)

Let $A$ be an integrally closed domain with field of fraction $K$. Let $f(t)$ be a monic polynomial in $A[t]$ and suppose that $f(t) = g(t)h(t)$ in $K[t]$ with $g, h$ monic. Then $g, h$ have coefficients in $A$.

Proof. 设 $L$ 为 $f$ 在 $K$ 上的分裂域, 表 $f(t) = \prod_{i=1}^r(t - \alpha_i)$. Let $B$ the integral closure of $A$ in $L$, then 所有的 $\alpha_i \in B$. 注意到 $g(t)$ 是某些 $(t - \alpha_i)$ 的乘积, 所以 $g(t)$ 的系数落在 $B$ 里. 另一方面 $g(t) \in K[t]$, 而 $A$ 整闭所以 $g(t)$ 的系数落在 $B \cap K = A$. $\square$

注意首一条件是必要的.

Proof of Proposition af9d901

注意到我们有 $A[t] \subseteq K[t] \subseteq \text{Frac}(A[t])$, so we see that $\text{Frac}(A[t]) = K(t)$. Suppose $f \in K(t)$ is integral over $A[t]$, then $f$ is also integral over $K[t]$. 因为 $K[t]$ 是 PID (hence UFD), 熟知 UFD 整闭, 故 $f \in K[t]$. 于是命题归结为: $A$ is integrally closed in $K$ $\implies$ $A[t]$ is integrally closed in $K[t]$.

第一个观察: 因为 $t \in A[t]$, 所以 $t$ 以及 $t^n$ are integral over $A[t]$. $f(t) \in K[t]$ is integral if and only if $f(t) + t^n$ is integral.

Assume $f(t) \in K[t]$ is integral over $A[t]$. Then $f(t)$ is a root of

$$ q(x) := x^n + a_{n-1}(t)x^{n-1} + \cdots + a_0(t). $$

where $a_i(t) \in A[t]$. 选取充分大的整数 $m$ 满足 $m \ge \deg(f)$ 且 $m \ge \deg a_i(t)$ for all $i$, 并考虑 $f_1(t) = f(t) - t^m$, 则 $f_1(t)$ 是 $q_1(x) := q(x + t^m)$ 的根. 表

$$ q_1(x) = x^n + b_{n-1}(t)x^{n-1} + \cdots + b_0(t), $$

注意到 $b_0(t) = q(t^m)$ which is monic by the choice of $m$. 因为 $q_1(f_1(t)) = 0$, 我们有 $K[t]$ 中的分解

$$ -b_0(t) = f_1\cdot (f_1^{n-1} + b_{n-1}(t)f_1^{n-2} + \cdots + b_1(t)) =: f_1(t) \cdot g(t). $$

因为 $f_1(t)$ 和 $b_0(t)$ 都是 monic, 所以 $g(t)$ 也是 monic. 最后注意到 $b_0(t) = q(t^m) \in A[t]$, 于是应用 Lemma (73c97b8) 便知 $f_1(t) \in A[t]$ and hence $f(t) \in A[t]$.

References

1: Jürgen Neukirch. Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (volume 322).
2: http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/631_2014/GaussLemma.pdf