根的拉回就是拉回的根

今天我遇到了这样一个问题. Let $f: A \to B$ be a ring map, 于是我们可以把 $B$ 中任意理想 $I$ 拉回成 $A$ 中的理想 $I \cap A$. 熟知的是素理想的拉回一定是素理想, 准素理想的拉回还是准素理想.

问题来了, 设 $I$ 是 $B$ 的一个 $\kp$-准素理想, 那么 $(I \cap A)$ 一定是 $A$ 的 $(\kp \cap A)$-准素理想吗? 也就是说 $\sqrt{f^{-1}(I)}$ 一定等于 $f^{-1}(\sqrt{I})$ 吗, 根和拉回是否可交换?

我们有

$$ \sqrt{I} = \bigcap_{\kp\supseteq I} \kp $$

是所有包含 $I$ 的素理想的交, 但是拉回之后得到的 $f^{-1}(\kp)$ 并不一定能 cover 所有包含 $f^{-1}(I)$ 的素理想, 所以 $\sqrt{f^{-1}(I)} \subseteq f^{-1}(\sqrt{I})$. 因为教科书上只告诉我们 primary 拉回还是 primary, 没说 radical is also preserved, 我一度怀疑 $(I \cap A)$ 的 radical 有可能是一个比 $\kp \cap A$ 要小的素理想.

从素理想的角度去考虑, 我们只得到了一个 $\subseteq$ 关系. 事实上我们应该直接从定义出发. 我们有 $a \in f^{-1}(\sqrt{I})$ 当且仅当 $f(a) \in \sqrt{I}$ 当且仅当 $f(a^m) = f(a)^m \in I$ for some $m > 0$ 当且仅当 $a^m \in f^{-1}(I)$ for some $m > 0$ 当且仅当 $a \in \sqrt{f^{-1}(I)}$.

拉回确实和 radical 可交换, 所以 $(I \cap A)$ 确实是 $(\kp\cap A)$-primary ideal.