Double Cosets Correspondence in Ramification Theory
对于 Galois 扩张, 素理想的分歧具有十分漂亮的结构, 比如 fundamental identity 就具有最简洁的形式 $efg = n$. 那对于不是 Galois 的域扩张, 我们又该怎么处理呢?
$$
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
$$
设 $L/K$ 是可分扩张, 将这个域扩张嵌入进一个更大的 Galois 扩张 $N/K$ 并设后者的 Galois group 为 $G$. 我们再考虑 $G$ 的子群 $H := \Gal(N/L)$. 设 $\kp$ 是 $K$ 中的素理想, 用 $P_{\kp}$ 表示 $L$ 中所有 lying above $\kp$ 的素理想构成的集合.
The following proposition is stated in the classical textbook [1] without a proof (The proof is left to the reader).
Proposition
Let $\mathfrak{P}$ be a prime ideal of $N$ lying above $\kp$. The map defined by
$$ H\backslash G/G_{\mathfrak{P}} \to P_{\kp}, \quad H\sigma G_{\mathfrak{P}} \mapsto \sigma\mathfrak{P} \cap L $$
is a well-defined bijection.
Proof.
容易看出这个映射确实是 well-defined 的.
因为如果差一个 $\tau \in G_{\mathfrak{P}}$, 但 $\tau$ 不改变 $\mathfrak{P}$;
如果差一个 $\rho \in H$, 但 $\rho$ 限制在 $L$ 上是 $\id$.
满射: 设 $\kq$ 是 $L$ 中一个 lying above $\kp$ 的素理想. 取 $N$ 中的素理想 $\mathfrak{Q}$ lying above $\kq$, then $\mathfrak{Q}$ is also lying above $\kp$. 取 $\sigma \in G$ 使得 $\sigma\mathfrak{Q} = \mathfrak{P}$, then $\sigma\mathfrak{P}\cap L = \mathfrak{Q}\cap L = \kq$.
单射: 设 $\sigma, \sigma' \in G$ 满足 $\sigma\mathfrak{P}\cap L = \sigma'\mathfrak{P}\cap L =: \kq$. Then $\sigma\mathfrak{P}$ and $\sigma'\mathfrak{P}$ both lie above $\kq$, 于是存在 $\rho \in \Gal(N/L) = H$ 使得 $\sigma\mathfrak{P} = \rho(\sigma'\mathfrak{P})$. 这说明 $\tau := \sigma^{-1}\rho\sigma'\in G_{\mathfrak{P}}$, and hence $\sigma' = \rho^{-1}\sigma\tau$, 即 $\sigma'$ 和 $\sigma$ 落在同一个双陪集里. $\square$
满射: 设 $\kq$ 是 $L$ 中一个 lying above $\kp$ 的素理想. 取 $N$ 中的素理想 $\mathfrak{Q}$ lying above $\kq$, then $\mathfrak{Q}$ is also lying above $\kp$. 取 $\sigma \in G$ 使得 $\sigma\mathfrak{Q} = \mathfrak{P}$, then $\sigma\mathfrak{P}\cap L = \mathfrak{Q}\cap L = \kq$.
单射: 设 $\sigma, \sigma' \in G$ 满足 $\sigma\mathfrak{P}\cap L = \sigma'\mathfrak{P}\cap L =: \kq$. Then $\sigma\mathfrak{P}$ and $\sigma'\mathfrak{P}$ both lie above $\kq$, 于是存在 $\rho \in \Gal(N/L) = H$ 使得 $\sigma\mathfrak{P} = \rho(\sigma'\mathfrak{P})$. 这说明 $\tau := \sigma^{-1}\rho\sigma'\in G_{\mathfrak{P}}$, and hence $\sigma' = \rho^{-1}\sigma\tau$, 即 $\sigma'$ 和 $\sigma$ 落在同一个双陪集里. $\square$
References
- 1
- Jürgen Neukirch. Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (volume 322).