张量积的传递是商

Let $f: A \to B$ be a ring map (so $B$ is a $A$-algebra). 设 $M, N$ 是 $B$-module, 则它们也有 $A$-module 结构. 于是我们有两种不同意义的张量积 $M \otimes_B N$ 以及 $M \otimes_A N$. 注意 $M \otimes_B N$ 也能看作 $A$-module, 它的 $A$-module 结构显然是 $M \otimes_A N$ 通过某种方式传递过来的.

Proposition

$M\otimes_B N$ is the quotient of $M \otimes_A N$ by the submodule generated by $\{bx\otimes y = x \otimes by: x \in M, y \in N, b \in B\}$.

为了区分对 $A$ 还是对 $B$ 作张量, 我们用 $\otimes_1$ 表示对 $A$ 作张量, 用 $\otimes_2$ 表示对 $B$ 作张量. 我们有 $B$-billinear map $$ M \times N \to M\otimes_B N, \quad (m,n) \mapsto m\otimes_2 n. $$ 注意到 $B$-linear 一定 $A$-linear ($B$-线性关系比 $A$-线性关系要多), 于是根据张量的 universal property, 我们得到了一个 $A$-linear map $$ \varphi: M\otimes_A N \to M\otimes_B N, \quad m\otimes_1 n \mapsto m\otimes_2 n. $$ 因为所有的 $m\otimes_2 n$ 构成了 $M \otimes_B N$ 的生成元, 所以这个 $\varphi$ 肯定是满射, 并且容易看出 $\ker\varphi$ 就是由 $B$-线性关系比 $A$-线性关系多的那部分产生, 故 $\ker\varphi$ 就形如命题中所陈述那样.

这个结论的一个 typical 的应用就是当 $B = A_\kp$ 是 $A$ 的一个 localization 的时候, 张量 $M \otimes_{A_\kp} N$ 以及张量 $M\otimes_A N$ 没有区别.

Corollary

设 $B = A_\kp$ 是 $A$ 的一个 localization, 设 $M, N$ 是 $B$-module, 我们有 $M \otimes_A N \cong M\otimes_{A_\kp} N$ as $A$-module.

事实上, 对任意 $x \in M, y \in N, \frac{a}{s} \in A_\kp$ 我们有 $$ \frac{a}{s}x\otimes y = \frac{a}{s}x\otimes\frac{s}{s}y = \frac{s}{s}x\otimes \frac{a}{s}y = x\otimes\frac{a}{s}y $$ 所以 $M\otimes_A N = M\otimes_{A_\kp} N$.